计价标准

需要定义本节中的表示法。

在拥有交易证券的金融市场中，人们可以使用计价标准的变更来定价资产。例如，在时间为0时投资1美元于货币市场，则在时间为${\displaystyle t}$时符合此算式${\displaystyle M(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds\right)}$。此外资产定价的基本定理（英语：Fundamental theorem of asset pricing）表明，所有按货币市场定价的资产 (${\displaystyle S(t)}$)是遵循风险中性措施（英语：risk-neutral measure）( ${\displaystyle Q}$)的鞅。那就是${\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[\left.{\frac {S(T)}{M(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\qquad \forall \,t\leq T.}$现在，假设${\displaystyle N\left(t\right)>0}$是另一种完全正面的交易资产（也就是在按货币市场定价时是鞅）。

然后，透过拉东-尼科迪姆定理，我们可以定义一个新的概率测量${\displaystyle Q^{N}}$，

${\displaystyle {\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}.}$

再借由拉东-尼科迪姆定理可以证明当新的计价标准${\displaystyle N(t)}$定价时，${\displaystyle S(t)}$是${\displaystyle Q^{N}}$下的鞅：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[\left.{\frac {S(T)}{N(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\\&=E_{Q}\left[\left.{\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]/E_{Q}\left[\left.{\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[\left.{\frac {S(T)}{M(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}={\frac {S(t)}{N(t)}}.\end{aligned}}}$

该技术在伦敦同业拆放利率（英语：LIBOR）和掉期交易的市场模型以及商品市场都具有许多重要的应用。Farshid Jamshidian（英语：Farshid Jamshidian）（1989）首先在赫尔怀特模型的背景下使用它来计算债券期权价格。格曼，妮可·厄尔·卡露伊和Rochet（1995）介绍了改变计价标准技术的一般形式框架。 有关更改计价标准工具包的信息，请参阅Brigo和Mercurio（2001）。

• 物价指数
• 远期测度（英语：Forward measure）
• 价值尺度（英语：Unit of account）

• Farshid Jamshidian（英语：Farshid Jamshidian）. An Exact Bond Option Pricing Formula. The Journal of Finance. 1989, 44: 205–209. doi:10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x. 
• Helyette Geman（英语：Helyette Geman）; Nicole El Karoui; J.C. Rochet. Changes of Numeraire, Changes of Probability Measures and Pricing of Options. Journal of Applied Probability. 1995, 32: 443–458. doi:10.2307/3215299. 
• Damiano Brigo（英语：Damiano Brigo）; Fabio Mercurio（英语：Fabio Mercurio）. Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit 2. Springer Verlag. 2006 [2001]. ISBN 978-3-540-22149-4.