ARMA模型(英语:Autoregressive moving average model,全称:自回归滑动平均模型)。是研究时间序列的重要方法,由自回归模型(简称AR模型)与移动平均模型(简称MA模型)为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究,如:Panel研究中,用于消费行为模式变迁研究;在零售研究中,用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
自回归AR(p)模型
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自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。
- 其中: 是常数项; 被假设为平均数等于0,标准差等于 的随机误差值; 被假设为对于任何的 都不变。
移动平均MA(q)模型
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移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。
- 其中 μ 是序列的均值,θ1,..., θq 是参数,εt , εt-1,..., εt−q 都是 白噪声。
ARMA(p,q)模型
ARMA(p,q)模型中包含了p个自回归项和q个移动平均项,ARMA(p,q)模型可以表示为:
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ARMA滞后算子表示法
有时ARMA模型可以用滞后算子(Lag operator) 来表示, 。这样AR(p)模型可以写成为:
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其中 表示多项式
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MA(q)模型可以写成为:
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其中θ 表示多项式
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最后,ARMA(p,q)模型可以表示为:
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或者
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若 ,则ARMA过程退化为MA(q)过程
若 ,则ARMA过程退化为AR(p)过程。
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