支出最小化

假设消费者有一个定义在${\displaystyle L}$ 种商品${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}}$ 上的效用函数${\displaystyle u}$ 。则该消费者的支出函数给出在给定价格为${\displaystyle \mathbf {p} }$ 的情况下购买一组商品${\displaystyle x}$ ，使得得到的效用${\displaystyle u(x)\geq u^{*}}$ 时所需钱的数额。 形式上，支出函数可以这样定义。

${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u^{*})=\min _{\mathbf {x} \in \geq (u^{*})}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }$ 

这里

${\displaystyle \geq (u^{*}):=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}|u(\mathbf {x} )\geq u^{*}\}}$ ，

表示收入效用至少等于${\displaystyle u^{*}}$ 的组合的集合。

希克斯需求函数 ${\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})}$ 定义一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义马歇尔需求函数，

${\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})=\mathbf {x} (\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u^{*}))}$ 。

如果马歇尔需求对应${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)}$ 是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应${\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})}$  也可以被称为是希克斯需求函数。

• 效用最大化问题
• 拉格朗日乘数

• Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401