布莱克-舒尔斯模型

BS模型假设金融市场存在最少一种风险资产（如股票）及一种无风险资产（现金或债券）。

假设金融资产是：

• 无风险资产的投资回报是不变的，此回报率称作无风险利率
• 股票价格遵从几何布朗运动（随机游走）
• 股票在期权有效期内不分派红利
• 股票价格服从对数正态分配，即金融资产的对数收益率服从正态分配

假设金融市场是：

• 不存在套利机会
• 能以无风险利率借出或借入任意数量的金钱
• 能买入及卖出（沽空）任意数量的股票
• 市场无摩擦，即不存在交易税收和交易成本

此外，假设期权是欧式期权，即只可在特定日期行权。

布莱克-舒尔斯方程

对于有效期内不派发红利的欧式期权，其价格遵从以下偏微分方程：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$ 

把方程重写成左右两边：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$ 

左方代表期权的时间值及与即期价格的凸性（英语：Convexity (finance)）。右方代表期权长仓的无风险回报及${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$ 股标的物短仓。

公式

利用以下约束条件，可解认购期权（Call Option）的理论值。

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$ 

认购期权的理论价格是：

${\displaystyle \displaystyle C=S\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})}$ 

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}}$ 

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}}$ 

ln：自然对数；

C：期权初始合理价格；

L：期权交割价格；

S：交易所金融资产即期价格；

T：期权有效期；

r：连续复利计无风险利率Ｈ；

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ：年度化方差；

N()：正态分布变量的累积分布函数。

布莱克-舒尔斯模型假定在期权有效期内标的股票不派发股息。若派发股息需改用布莱克-舒尔斯-墨顿模型，其公式如下： ${\displaystyle \displaystyle C=S\times e^{-k\times t}\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})}$ 

其中：

${\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}}$ 

${\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}}$ 

k：表示标的股票的年股息收益率（假设股息连续支付，而不是离散分期支付）

Ln：自然对数；

C：期权初始合理价格；

L：期权交割价格；

S：交易所金融资产现价；

T：期权有效期；

r：连续复利计无风险利率Ｈ；

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ：年度化方差；

N()：正态分布变量的累积分布函数。

• 金融工程学
• 金融数学
• 瓦西塞克模型（英语：Vasicek model）
• Cox–Ingersoll–Ross model

• 布莱克-舒尔斯计算机
• The Black–Scholes Model （页面存档备份，存于互联网档案馆）, global-derivatives.com
• Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences （页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Ajay Shah
• The Black–Scholes Option Pricing Model （页面存档备份，存于互联网档案馆）, optiontutor