本息平均摊还

本法需要使用期之利率。因此，假如年利率为 6.5%，一个月为一期，在利用以下公式时利率 ${\displaystyle r=6.5/100/12\approx 0.005416667}$ 。

本息平均摊还之公式：

第0个月（尚未计息）余额:

${\displaystyle P_{0}}$ 

第1个月余额:

${\displaystyle P_{1}=P_{0}+P_{0}*r-c}$  ( 本金 + 本期利息 - 本期偿还 )

${\displaystyle P_{1}=P_{0}(1+r)-c}$  (等式 1)

第2个月余额:

${\displaystyle P_{2}=P_{1}(1+r)-c}$ 

利用等式1带入${\displaystyle P_{1}}$ 

${\displaystyle P_{2}=(P_{0}(1+r)-c)(1+r)-c}$ 

${\displaystyle P_{2}=P_{0}(1+r)^{2}-c(1+r)-c}$  (等式 2)

第3个月余额:

${\displaystyle P_{3}=P_{2}(1+r)-c}$ 

利用等式2带入${\displaystyle P_{2}}$ 

${\displaystyle P_{3}=(P_{0}(1+r)^{2}-c(1+r)-c)(1+r)-c}$ 

${\displaystyle P_{3}=P_{0}(1+r)^{3}-c(1+r)^{2}-c(1+r)-c}$ 

可知，第N个月余额:

${\displaystyle P_{N}=P_{N-1}(1+r)-c}$ 

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c(1+r)^{N-1}-c(1+r)^{N-2}....-c}$ 

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c((1+r)^{N-1}+(1+r)^{N-2}....+1)}$ 

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c(S)}$  (等式 3)

使 ${\displaystyle S=(1+r)^{N-1}+(1+r)^{N-2}....+1}$  (等式 4) (等比级数)

${\displaystyle S(1+r)=(1+r)^{N}+(1+r)^{N-1}....+(1+r)}$  (等式 5)

等式 4 及等式 5 除了第一项 ${\displaystyle (1+r)^{N}}$  及最后一项 ${\displaystyle (1+r)}$  外皆可消去)

利用 (等式 5 - 等式 4)

${\displaystyle S(1+r)-S=(1+r)^{N}-1}$ 

${\displaystyle S((1+r)-1)=(1+r)^{N}-1}$ 

${\displaystyle S(r)=(1+r)^{N}-1}$ 

${\displaystyle S=((1+r)^{N}-1)/r}$  (等式 6)

利用等式 6 放回等式 3:

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c(((1+r)^{N}-1)/r)}$ 

${\displaystyle P_{N}}$ （最后一期之余额）会是 0（明显地）因为已经还清。

${\displaystyle 0=P_{0}(1+r)^{N}-c(((1+r)^{N}-1)/r)}$ 

欲得 ${\displaystyle c}$ 

${\displaystyle c=(r(1+r)^{N}/((1+r)^{N}-1))P_{0}}$ 

上下共除以 ${\displaystyle (1+r)^{N}}$ 

${\displaystyle c=(r/(1-(1+r)^{-N}))P_{0}}$ 

• 78法则